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        如何使用相同的数学概念来描述基本粒子的行为和整个宇宙的结构？ 这个问题是来自Inria Saclay的数学家Claudia Fevola和马克斯·普朗克科学数学研究所的Anna-Laura Sattelberger最近工作的核心，最近发表在美国数学会的通知上。

         切中要害：

         数学和物理有着密切的互惠关系。 数学提供了描述物理现象的语言和工具，而物理学则推动了新数学思想的发展。 这种相互作用在量子场论和宇宙学等领域仍然至关重要，在这些领域，先进的数学结构和物理理论共同发展。

         在他们的文章中，作者探讨了代数结构和几何形状如何帮助我们理解从粒子碰撞（例如在粒子加速器中发生的）到各种现象宇宙的大规模建筑。 他们的研究以代数几何为中心。 他们最近的工作还与一个名为正几何的领域有关——这是一门由粒子物理学和宇宙学新思想驱动的跨学科和新颖的数学学科。 该领域的灵感来自正几何的几何概念，该概念通过将相互作用表示为高维几何体积来扩展粒子物理学中的标准费曼图方法物体，例如amplituhedron，由理论物理学家 Nima Arkani-Hamed 和 Jaroslav Trnka 于 2013 年提出。 它具有丰富的组合结构，并提供了一种替代的、可能更简单的方法来计算散射幅度，从中可以推导出散射事件的概率。

         这种方法具有超越粒子物理学的深远影响。 在宇宙学中，科学家们正在利用宇宙微波背景的微弱光和星系的分布推断是什么塑造了早期宇宙。 现在正在应用类似的数学工具。 例如，宇宙多面体本身就是正几何形状，可以在宇宙的第一光中代表相关性，并有助于重建支配宇宙诞生的物理定律。

         宇宙几何

         文章强调，正几何不是一种小众的数学好奇心，而是一种潜在的统一形式语言理论物理学的分支。 这些几何框架自然地编码了物理系统之间的信息传递，例如，通过将具体的、基于感官的概念映射到抽象结构，这一过程反映了人类如何隐喻地理解世界。

         这背后的数学是复杂的，跨越多个学科。 作者借鉴了代数几何，它通过多项式方程组的解来定义形状和空间，代数分析，通过称为 D 模块的数学对象研究微分方程，以及组合学，描述这些结构内的排列和相互作用。

         所考虑的形式对象，例如费曼积分、广义欧拉积分或正几何的规范形式，不仅仅是数学抽象。 它们对应于高能物理学和宇宙学中的可观测现象，从而能够进行粒子行为和宇宙结构。

         桥接量表与数学

         该研究提出了一种具有广泛适用性和可扩展性的方法。 散射过程通常使用费曼图来说明。 费曼研究散射幅度的方法归结为对与此类图相关的复杂积分的研究。 代数几何为系统地研究这些积分提供了一系列工具。

         费曼的图多项式图是根据基础图的生成树和林来定义的。 相关的费曼积分可以表示为该图多项式幂的梅林变换，解释为其系数的函数。 然而，这些系数受到潜在物理条件的约束。 因此，费曼积分与广义欧拉积分密切相关，特别是通过对相关几何子空间的限制。 一种学习方式这些全息函数是通过它们满足的线性微分方程来实现的，这些方程是超几何 D 模块的 D 模块逆图像。 然而，明确构建这些微分方程仍然具有挑战性。 在理论宇宙学中，玩具模型中的相关函数也采用这种积分的形式，其被积函数由超平面排列产生。

         代数环面中图多项式定义的代数簇的补码是一个非常仿射的多样性，费曼积分可以看作是该品种的扭曲循环和共循环的配对。 它的几何和（共）同调特性反映了物理概念，例如主积分的数量。 当运动学参数变化时，这些主积分构成了积分空间的基础，并且该基的大小至少在一般上等于该品种的有符号拓扑欧拉特征。

         运动场

         Fevola 和 Sattelberger 的这项工作反映了在 Nima Arkani-Hamed、Daniel Baumann 和 Johannes Henn、Bernd Sturmfels 的 ERC 协同赠款 UNIVERSE 的支持下，国际上不断努力。 它汇集了数学、粒子物理学和宇宙学，重点关注代数、几何和理论物理学之间的这些联系。 作者强调：“正几何仍然是一个年轻的领域，但它有可能对物理和数学的基础研究产生重大影响。 “这是现在由科学界来研究这些新兴数学对象和理论的细节并验证它们。 令人鼓舞的是，几次成功的合作已经奠定了重要的基础。

        ：最近的发展不仅增进了我们对物理世界的理解，而且突破了数学本身的界限。 正几何不仅仅是一种工具。 它是一种语言。 它可能会统一我们对各种规模的自然的理解。